! derivadas !

derivada de la funcion exponencial:

 ejemplo:




derivada de la funcion exponencial de base e:


 ejemplo:



derivadas de orden superior:

f''(x), f'''(x),f''''(x)...f^(n) (x)

ejemplo:


f''(x) = 5x^4 + 2x
f'''(x) = 20x^3 + 2
f''''(x) = 60x^2
f'^(4) (x) = 120x

razones de cambio relacionados:

ejemplo:

Un recipiente conico (con el vertice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye

hacia el recipiente a razon de 3 metros cubicos por minuto, encuentre la razon de cambio de la altura del agua cuando

tal altura es de 2 metros.

Solucion.

Sea V el volumen del recipiente, r el radio de la superficie variable en el instante t y h el nivel del agua en el instante t 

rapidez con que aumenta el volumen del agua: dv/dt= 3m^3/min

rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 m: dh/dt  h=2m

la ecuacion que relaciona las variables es el volumen del cono v=  π/3 r^2 h

como la ecuacion de volumen tiene dos variables es necesario expresarla en terminos de la altura asi: r = 3/7 h
se sustituye en la ecuacion de volumen

 v= π/3 (3/7 h)^2 h    =    v= 3π/49 h^3

la ecuacion de razpnes relacionadas se ontiene derivando implicitamente, respesto del tiempo, a ambos lados de la ecuacion, lo cual conduce a:

Finalmente, como se desea encontrar la variacion de la profundidad del agua en el instante en que h=2 y dado que dv/dt =3 se sustituye:

  

Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razon aproximada de 1,3 m/min

puntos criticos:

entendemos como puntos criticos a aquellos puntos que representan los valores maximos o minimos en una funcion representados en una grafica

minimos:



maximos:


puntos de inflexion, concavo y convexo:

 concavo
 

convexo:

punto de inflexion:


ejemplo:

Punto de inflexión(0, 0)

problemas de optimizacion: