derivadas: 2011

derivada de la funcion exponencial:

ejemplo:

derivada de la funcion exponencial de base e:

ejemplo:

derivadas de orden superior:

f''(x), f'''(x),f''''(x)...f^(n) (x)

ejemplo:

f''(x) = 5x^4 + 2x
f'''(x) = 20x^3 + 2
f''''(x) = 60x^2
f'^(4) (x) = 120x

razones de cambio relacionados:

ejemplo:

Un recipiente conico (con el vertice hacia abajo) tiene 3 metros de ancho arriba y 3,5 metros de hondo. Si el agua fluye

hacia el recipiente a razon de 3 metros cubicos por minuto, encuentre la razon de cambio de la altura del agua cuando

tal altura es de 2 metros.

Solucion.

Sea V el volumen del recipiente, r el radio de la superficie variable en el instante t y h el nivel del agua en el instante t

rapidez con que aumenta el volumen del agua: dv/dt= 3m^3/min

rapidez con que sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 2 m: dh/dt h=2m

la ecuacion que relaciona las variables es el volumen del cono v= π/3 r^2 h

como la ecuacion de volumen tiene dos variables es necesario expresarla en terminos de la altura asi: r = 3/7 h
se sustituye en la ecuacion de volumen

v= π/3 (3/7 h)^2 h = v= 3π/49 h^3

la ecuacion de razpnes relacionadas se ontiene derivando implicitamente, respesto del tiempo, a ambos lados de la ecuacion, lo cual conduce a:

Finalmente, como se desea encontrar la variacion de la profundidad del agua en el instante en que h=2 y dado que dv/dt =3 se sustituye:

Por lo tanto, el nivel del agua aumenta a una razon aproximada de 1,3 m/min

puntos criticos:

entendemos como puntos criticos a aquellos puntos que representan los valores maximos o minimos en una funcion representados en una grafica

minimos:

maximos:

puntos de inflexion, concavo y convexo:

concavo

convexo:

punto de inflexion:

ejemplo:

Punto de inflexión(0, 0)

problemas de optimizacion:

Imagen de áreas

Derivada de una potencia entera:

Una función potencial con exponente entero se representa por

f (x) = x n

y su derivada es

f'(x) = n x n - 1

.
Por ejemplo tomemos la función:

f (x) = x 3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta una unidad formando uno nuevo, así:

f'(x) = 3 x 3 - 1

Quedando finalmente:

f'(x) = 3 x 2

Derivada de una constante:

Una función polinómica de grado 0 o función constante es aquella que no depende de ninguna variabley su derivada siempre será cero. Si f (x) = a, tendremos que f'(x) = 0 ejemplo: f (x) = 7 f'(x) = 0

Regla del producto:

La derivada de un producto de dos funciones es equivalente al producto de la primera función

derivada por la segunda funcion sin derivar mas la primera funcion sin derivar por la segunda derivada. matematicamente expresado:

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Derivada de un cociente:

La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

ejemplo:

h(x)=\frac{3x+1}{2x}

h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}

h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}

Derivadas de las funciones trigonometricas:

$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$- sin(x)$
$tan(x)$	$sec 2 (x)$
$cot(x)$	$- csc 2 (x)$
$sec(x)$	$sec(x)tan(x)$
$csc(x)$	$- csc(x)cot(x)$

Derivacion implicita:

es necesario despejar y cuando se tienen una ecuacion implicita asi:

x y = 1
y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente:

Ejercicios:

Derivada de una potencia entera:

f(x)=x^13 f ´(x)= 13x^12
f(x)=4x^6 f ´(x)= 24x^5
f(x)=x^2 f ´(x)= 2x
f(x)=3x^6 f ´(x)= 18x^5
f(x)=2x^7 f ´(x)= 14x^6

f(x)=x^5
f(x)=2x^4
f(x)=3x
f(x)=6x^2
f(x)=x

Derivada de una constante:

f(x)= 34 f ´(x)= 0
f(x)= 82 f ´(x)= 0
f(x)= 15 f ´(x)= 0
f(x)= 20 f ´(x)= 0
f(x)= 45 f ´(x)= 0

f(x)=7
f(x)=0
f(x)=13
f(x)=58
f(x)=54

http://www.youtube.com/watch?v=MHnhIJ0nHiI

Regla del producto

$f(x) = x^2 \, \sin(x)$

$f^\prime (x) = 2 x \, \sin(x) + x^2 \, \cos(x)$

2. f(x)= (2x+1)(x^3-4)
f´´(x)= 2(x^3-4) + (2x+1) 3x^2
f ´(x)= 2x^3-8+ 6x^3+3x^2
f ´(x)= 8x^3+3x^2-8

3. f(x)= (6x+3)(x^2+2)
f´´(x)= 6(x^2+2)+(6x+3)2x
f´´(x)=6x^2+12+12x^2+6x
f´´(x)=18x^2+6x+12

4. f(x)= (5x^2+6)(2x^2+6)
f´´(x)= 10x(2x^2+6)+(5x^2+6)4x
f´´(x)=20x^3+60+20x^3+24x
f´´(x)=40x^3+24x+60

5. f(x)= (7x^2+1)(2x+1)
f´´(x)=14x(2x+1)+(7x^2+1)2
f´´(x)= 28x+14x+14x^2+2
f´´(x)= 14x^2+ 42x + 2

f(x)= (4x^2+7)(x^3-4)
f(x)= (x^2-4x)(5x^3+8)
f(x)= (3x+5x)(x^4-8x)
f(x)= (x+2)(x^3+1)
f(x)= (10x-x)(4x^2-4)

http://www.youtube.com/watch?v=kn_FfvhWV4I

Regla del cociente

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$ $=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$ $=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$

$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$

$=\frac{-2x^4}{x^6}$

$=-\frac{2}{x^2}$

$h(x)=\frac{3x+1}{2x}$

$h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}$

$h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}$

5.

y = x^3-1/x^2+1
y´= (x^2+1)(3x^2) - (x^3-1)(2x)/ (x^2+1)^2
y´= 3x^4+3x^2-2x^4+2x/ (x^2+1)^2
y´= x^4+3x^2+2x/ (x^2+1)^2

f(x)= 3x+7/9x-x^2
f(x)= 6x^3-8x/x-x
f(x)= 2x+20/x-1
f(x)= x-18/x+13
f(x)= x^8/x-2

http://www.youtube.com/watch?v=29gUnwGMbyM

Regla de la cadena

f(x)= (5x^4+6x)^3
f(x)= (20x+7x^2)^4
f(x)= (x+1)^6
f(x)= (7x+23)^2
f(x)= (14x-3)^5

http://www.youtube.com/watch?v=bJZ6BZPlXLw

derivadas

lunes, 12 de septiembre de 2011

! derivadas !

lunes, 15 de agosto de 2011

reglas de derivacion