derivadas: reglas de derivacion

Derivada de una potencia entera:

Una función potencial con exponente entero se representa por

f (x) = x n

y su derivada es

f'(x) = n x n - 1

.
Por ejemplo tomemos la función:

f (x) = x 3

Lo primero que se debe hacer es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta una unidad formando uno nuevo, así:

f'(x) = 3 x 3 - 1

Quedando finalmente:

f'(x) = 3 x 2

Derivada de una constante:

Una función polinómica de grado 0 o función constante es aquella que no depende de ninguna variabley su derivada siempre será cero. Si f (x) = a, tendremos que f'(x) = 0 ejemplo: f (x) = 7 f'(x) = 0

Regla del producto:

La derivada de un producto de dos funciones es equivalente al producto de la primera función

derivada por la segunda funcion sin derivar mas la primera funcion sin derivar por la segunda derivada. matematicamente expresado:

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Derivada de un cociente:

La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

ejemplo:

h(x)=\frac{3x+1}{2x}

h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}

h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}

Derivadas de las funciones trigonometricas:

$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$- sin(x)$
$tan(x)$	$sec 2 (x)$
$cot(x)$	$- csc 2 (x)$
$sec(x)$	$sec(x)tan(x)$
$csc(x)$	$- csc(x)cot(x)$

Derivacion implicita:

es necesario despejar y cuando se tienen una ecuacion implicita asi:

x y = 1
y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente:

Ejercicios:

Derivada de una potencia entera:

f(x)=x^13 f ´(x)= 13x^12
f(x)=4x^6 f ´(x)= 24x^5
f(x)=x^2 f ´(x)= 2x
f(x)=3x^6 f ´(x)= 18x^5
f(x)=2x^7 f ´(x)= 14x^6

f(x)=x^5
f(x)=2x^4
f(x)=3x
f(x)=6x^2
f(x)=x

Derivada de una constante:

f(x)= 34 f ´(x)= 0
f(x)= 82 f ´(x)= 0
f(x)= 15 f ´(x)= 0
f(x)= 20 f ´(x)= 0
f(x)= 45 f ´(x)= 0

f(x)=7
f(x)=0
f(x)=13
f(x)=58
f(x)=54

http://www.youtube.com/watch?v=MHnhIJ0nHiI

Regla del producto

$f(x) = x^2 \, \sin(x)$

$f^\prime (x) = 2 x \, \sin(x) + x^2 \, \cos(x)$

2. f(x)= (2x+1)(x^3-4)
f´´(x)= 2(x^3-4) + (2x+1) 3x^2
f ´(x)= 2x^3-8+ 6x^3+3x^2
f ´(x)= 8x^3+3x^2-8

3. f(x)= (6x+3)(x^2+2)
f´´(x)= 6(x^2+2)+(6x+3)2x
f´´(x)=6x^2+12+12x^2+6x
f´´(x)=18x^2+6x+12

4. f(x)= (5x^2+6)(2x^2+6)
f´´(x)= 10x(2x^2+6)+(5x^2+6)4x
f´´(x)=20x^3+60+20x^3+24x
f´´(x)=40x^3+24x+60

5. f(x)= (7x^2+1)(2x+1)
f´´(x)=14x(2x+1)+(7x^2+1)2
f´´(x)= 28x+14x+14x^2+2
f´´(x)= 14x^2+ 42x + 2

f(x)= (4x^2+7)(x^3-4)
f(x)= (x^2-4x)(5x^3+8)
f(x)= (3x+5x)(x^4-8x)
f(x)= (x+2)(x^3+1)
f(x)= (10x-x)(4x^2-4)

http://www.youtube.com/watch?v=kn_FfvhWV4I

Regla del cociente

$\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1}$ $=\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

$=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}$
$=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}$

$f(x) = \frac{2x^2}{x^3}$ $=\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}$

$=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}$

$=\frac{-2x^4}{x^6}$

$=-\frac{2}{x^2}$

$h(x)=\frac{3x+1}{2x}$

$h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}$

$h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}$

5.

y = x^3-1/x^2+1
y´= (x^2+1)(3x^2) - (x^3-1)(2x)/ (x^2+1)^2
y´= 3x^4+3x^2-2x^4+2x/ (x^2+1)^2
y´= x^4+3x^2+2x/ (x^2+1)^2

f(x)= 3x+7/9x-x^2
f(x)= 6x^3-8x/x-x
f(x)= 2x+20/x-1
f(x)= x-18/x+13
f(x)= x^8/x-2

http://www.youtube.com/watch?v=29gUnwGMbyM